Álgebra, ¿el lenguaje de la creación?

Por Felipe López Sánchez - 25 de Enero, 2010, 2:25, Categoría: DIVULGACION. Trabajos y aportaciones

En la desaparecida estación radiofónica Jazz FM, el locutor, con la voz a veces un tanto engolada, al anunciar la próxima pieza, decía: Para mentalidades más allá del Ratón Miguelito. Se refería a Mickey Mouse; sí, ése, al que Walt Disney bautizara en un principio como Mortimer.

El punto viene a colación, chobojos, porque es esta ocasión el neochobojo Felipe López Sánchez, matemático de profesión, a quien saludamos quitándonos el sombrero (aunque ya no se use) comparte un trabajo que bien vale la pena divulgar.

Sin extenderme mucho, les diré que la hueva no es mortal. Al menos no se sabe de alguien que haya muerto de hueva. Pero la hueva mental, ésa sí que puede reducirlos a nada.

Así pues, chobojos, que no les dé hueva leer esta aportación. Éntrenle, ilústrense, hagan funcionar sus neuronas, aunque sean escasas, para que no les digan Chobojos Teletón.

Por la divulgación de los trabajos que nos ayudan a subir los peldaños del conocimiento: Chobojo Master

 


 

Álgebra, ¿el lenguaje de la creación?

Mat. Felipe López Sánchez



¿Qué es el Álgebra?

Es común que las personas piensen que el Álgebra, es un área de las Matemáticas, lo cual no es del todo incorrecto pero si mediocre, pues el Álgebra no sólo es un área de las Matemáticas, sino que es uno de los pilares de la matemática contemporánea, quizás, el más importante.

Considerando que el Álgebra es, quizás, la piedra angular de las matemáticas contemporáneas, podemos preguntarnos, ¿Es el Álgebra un método o un estilo de pensamiento?

En los cursos básicos de matemáticas, se enseña como encontrar las soluciones de ecuaciones del tipo:

ax + b = c………………………………… (1)

y

ax2 + bx + c = d……………………… (2)

mediante un método que consiste en llevar a cabo una serie de operaciones con los coeficientes de las ecuaciones, de manera ordenada y sistemática. A dicho método, es frecuente que se le llame Álgebra. Implícito en la enseñanza de dicho método o métodos, se encuentra un estilo muy particular de pensamiento, que frecuentemente pasa inadvertido, el pensamiento sistémico. Este estilo de pensamiento tiene la peculiaridad de asumir un conjunto de reglas de operación, de admitir cierto tipo de elementos y desechar otros, y producir resultados a partir de los elementos admitidos y de las operaciones hechas sobre ellos. Por ejemplo, consideremos las ecuaciones de segundo grado:

3x2 + x + 2 = 0……………………………… (3)

y

3x2 + x – 2 = 0……………………………… (4)

Los coeficiente de la ecuación (3), a saber: 3, 1, 2, 0, serían rechazados como elementos entrantes válidos y los coeficientes de la ecuación (4), a saber: 3, 1, -2, 0, serían aceptados como elementos entrantes válidos, si es que se desea que las ecuaciones tengan por solución números reales. Esto es fácilmente verificable usando la conocida fórmula general o fórmula del chicharronero.

De esta manera, al resolver una ecuación de segundo grado, estamos pensando en forma sistémica, ya que tenemos elementos entrantes válidos, un proceso (operaciones aritméticas con los coeficientes), y elementos salientes.

Entonces, podemos pensar el Álgebra como un método y también como un estilo de pensamiento, pero el Álgebra es aún más. Como área de las matemáticas, el Álgebra crea los sistemas y métodos que se usan dentro de ella, al igual que los objetos que serán objetos de estudio de las matemáticas en general, de ahí que sea el álgebra, "El lenguaje de la creación".

 

Contar, Calcular y Medir

¿Qué es contar?

A manera de una primera definición informal, contar es comparar conjuntos de objetos ya sean del mismo tipo o no, bajo cierto criterio establecido por quien cuenta.

Como segunda definición informal, podemos decir que contar es numerar un conjunto de objetos, que no enumerarlos. Numerar un conjunto de objetos, es asignar a cada elemento del conjunto uno y sólo un o número natural, mientras que enumerar los elementos de un conjunto, es explicitar cada uno de los elementos del conjunto.

Formalmente, contar significa encontrar una función biyectiva de un conjunto A a un conjunto B. Frecuentemente el conjunto A es el conjunto de los números naturales (N).

Al número de elementos de un conjunto se le llama cardinalidad. Cuando es posible encontrar una función biyectiva entre dos conjuntos cualesquiera A y B, decimos que B tiene la misma cardinalidad que A y que A tiene la misma cardinalidad que B.

En base a nuestra definición anterior, podemos extender nuestra noción de conteo incluso a conjuntos con una cardinalidad muy grande incluso infinita como los números enteros (Z).

Contar es una tarea cotidiana para cualquier ser humano, sin embargo contar no siempre es fácil, por ejemplo, es fácil contar el número de cuadras que hay entre la casa propia y la avenida más cercana, o el número de camisas o blusas que se tienen; pero contar el número de cristales de azúcar contenidos en un kilo de azúcar, ya resulta sencillo a pesar de poder llevarlo a cabo de la misma manera en que contamos las camisas o las blusas. El procedimiento se vuelve impractico. Entonces ¿qué hacer en este caso?

Pues bien, en este caso recurrimos a un procedimiento en apariencia muy distinto, pero que en esencia es igual, este es, calcular.

Regresemos al ejemplo de los cristales de azúcar. Podemos calcular el número de cristales en un kilo de azúcar, si pesamos un cristal y luego pesamos el kilo entero y hacemos la siguiente serie de operaciones:

1 cristal---------------------z gramos

x cristales---------------1000 gramos

entonces:

x cristales = (1000 gramos)*(1 cristal) / (z gramos).

Este procedimiento nos dará una aproximación al número de cristales de azúcar contenidos en un kilo de el, pero continuaremos sin saber el número exacto de cristales de azúcar en un kilo.

Si queremos obtener una mejor aproximación, debemos diseñar otro procedimiento, pero siempre teniendo en cuenta que al calcular, obtenemos aproximaciones salvo en casos muy particulares (generalmente cuando el número de elementos es pequeño).

Al procedimiento usado para obtener el peso de un solo cristal de azúcar, le llamamos medir y a las operaciones realizadas con los datos obtenidos de la medición, le llamamos calcular.

Entonces, contar y medir, se sustentan sobre la idea de comparar, es decir, de establecer una relación entre los elementos de un conjunto A con los de un conjunto B de tal manera que a cada elemento a del conjunto A, le corresponda uno y sólo un elemento b del conjunto B y viceversa. Calcular es la forma de construir tal relación biunívoca y bidireccional (de A a B y de B a A).

Pero ¿qué tiene que ver esto con el Álgebra? Pues bien, la relación de contar, medir y calcular con el Álgebra se explicita cuando nos preguntamos: ¿podemos contar cualquier conjunto de objetos? Ó ¿podemos medir cualquier objeto?

La respuesta a ambas preguntas es no, a pesar de que Galileo Galilei diga lo contrario.

Galileo Galilei, afirmaba que se midiera todo lo que fuera medible y que lo que no fuera medible, se hiciera medible.

Ahora bien, la respuesta a ambas preguntas es no debido a que hasta este momento, los únicos objetos matemáticos conocidos son los números, y los números (aún los imaginarios), resultan inadecuados para llevar a cabo un conteo adecuado.

Un ejemplo de lo inadecuado que pueden resultar los simples números para medir algo, lo constituye la fuerza ejercida sobre un objeto originalmente en reposo. La fuerza es aplicada en un punto del objeto y tiene una dirección, una magnitud y un sentido, especificar solo la magnitud no nos dice nada acerca del comportamiento del objeto al aplicarle la fuerza, así, el Álgebra crea una nueva entidad llamada vector para representar este tipo de fenómenos.

Un vector tiene magnitud, dirección y sentido, y el Álgebra vectorial nos enseña como operar con ellos, es decir como calcular usando vectores en lugar de números simples para obtener un resultado relevante.

 

Propuesta acerca del Álgebra y su desarrollo

Las discusiones y conclusiones previas, nos conducen al planteamiento de la siguiente propuesta del Álgebra como lenguaje de la creación:

"Cualquier objeto de estudio de las matemáticas, puede ser medido; sin embargo, para tal medición, los números simples, resultan inadecuados. Cuando creamos un nuevo tipo de objeto, el Álgebra construye o descubre las cantidades relevantes para medir tal objeto. Así, la creación, el estudio y la construcción del sistema que permitirá operar con el nuevo objeto, caracteriza el Álgebra como el lenguaje de la creación."

De acuerdo a esta propuesta, el desarrollo del Álgebra consiste de dos fases:

1. La creación de un nuevo objeto matemático a partir de algún problema de medición.

2. El desarrollo sistemático de la teoría de esta nueva clase de objetos.

La segunda fase puede o no estar relacionada directamente con el área de la cual se derivo el problema de medición que engendro al nuevo objeto matemático, sin embargo la primera fase, siempre tiene relación con tal área.

 

Estructuras Algebraicas y algunas Aplicaciones

Algunas de las creaciones del Álgebra y su aplicación, se resumen en la siguiente tabla:

 

Objeto Matemático

Aplicación Matemática

 

 

Números Naturales

Contar

Números Reales

Medir

Números Complejos

Resolver ecuaciones

Vectores

Caracterizar fenómenos por más de una variable.

Tensores

Caracterizar fenómenos por un conjunto de vectores.

Grupos

Entre otras aplicaciones, hacer operaciones con simetrías.

Conjuntos

Base de la Matemática Moderna

 

Bibliografía

1. I. R. Shafarevich. Basic Notions of Algebra. Springer.1997.

2. Serge Lang. Algebraic Structures. Addison-Wesley. 1968.

3. Danuta Przeworska-Rolewicz. Algebraic Analysis. D. Reidel Publishing Company. 1988.


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